Зайцев М.Г.
Методы оптимизации управления для менеджеров: Компьютерно-ориентированный подход: Учеб. пособие. - М.: Дело, 2002.
ISBN 5-7749-0270-6

Постановки задач

2.1. Оптимальный план выпуска продукции мебельного цеха

Цех может выпускать два вида продукции: шкафы и тумбы для телевизора.
На каждый шкаф расходуется 3.5м стандартных ДСП, 1м листового стекла и 1 человеко-день трудозатрат. На тумбу - 1м ДСП, 2м стекла и 1 человеко-день трудозатрат.
Прибыль от продажи 1 шкафа составляет 200 у.е., а 1 тумбы - 100 у.е.
Материальные и трудовые ресурсы ограничены: в цехе работают 150 рабочих, в день нельзя израсходовать больше 350м ДСП и более 240м стекла.
Какое количество шкафов и тумб должен выпускать цех, чтобы сделать прибыль максимальной?
К решению

2.2. На кондитерской фабрике. Научный подход против эмпирики

Маленькая кондитерская фабрика должна закрыться на реконструкцию. Надо реализовать оставшиеся запасы сырья для производства продуктов из ассортимента фабрики, получив максимальную прибыль. Запасы и расход каждого вида сырья для производства единицы продукции каждого вида, а также получаемая при этом прибыль представлены в таблице.
Мастер, используя свой 20-летний опыт, предлагает на глазок выпустить по 200 пакетов каждого продукта, утверждая, что ресурсов "должно хватить", а прибыль получится 1080 у.е. Сын владельца фабрики, только что прошедший соответствующие курсы, утверждает, что такие проблемы надо решать не на глазок, а с помощью линейного программирования. Умиленный отец обещает сыну всю прибыль сверх 1080 у.е., если он предложит лучший план, чем многоопытный мастер.

ресурсыОреховый
звон		Райский
вкус		Батончик БелкаРомашкаограничения
Темный
шоколад		0.80.5121.1 1411
Светлый
шоколад		0.20.10.10.1 0.2149
Сахар0.30.40.61.30.05 815.5
Карамель0.20.30.30.70.5 466
Орехи0.70.10.91.50 1080
Прибыль10.71.120.6

К решению

2.П.1. Оптимальная загрузка оборудования ткацкого цеха

Ткацкий цех выпускает два вида тканей Т1 и Т2 на двух видах станков С1 и С2. Количество станков первого типа - 103, второго - 210.
Станок С1 выпускает 54м ткани Т1 или 72м ткани Т2, а станок С2 - 34м ткани Т1 или 65м ткани Т2 за смену.
Производство ткани ограничено ресурсами и складскими помещениями. За смену можно выпустить не более 6000м ткани Т1 и не более 11000м ткани Т2.
Доход от продажи ткани Т1 - 7.3 у.е. за 1м, от продажи ткани Т2 - 4.2 у.е. за 1м.
Как распределить производство тканей Т1 и Т2 между станками С1 и С2, чтобы максимизировать прибыль?
К решению

2.П.2. Оптимальный план размещения производственных заказов

Фирма планирует производить 300 тыс. однотипных изделий на четырех своих предприятиях ежемесячно. Для освоения этого нового вида продукции выделено 18000 тыс. руб.
Разработанные для каждого филиала проекты освоения новой продукции характеризуются определенными значениями себестоимости одного изделия и необходимыми удельными капиталовложениями (см. таблицу).
Издержки производства и капиталовложения можно считать пропорциональными количеству выпускаемой продукции.
Определить такой план размещения ежемесячных объемов производства по предприятиям, при котором суммарные издержки производства будут минимальными.

вид вложения \ филиалыФ1Ф2Ф3Ф4
издержки на ед. продукции83899598
инвестиции на ед. продукции120805040

К решению

2.П.3. Минимизация отходов лесопилки

Пилорама заготавливает, оцилиндровывает и сушит 20-футовые бревна, которые в дальнейшем используются для строительства бревенчатых домов, бань и т.п. Поступил новый заказ, для которого требуется 275 шт. 8-футовых, 100 шт. 10-футовых и 250 шт. 12-футовых бревен. На складе 315 шт. 20-футовых бревен. Распилить бревна так, чтобы выполнить заказ и минимизировать длину нестандартных обрезков.
К решению

3.П.1. Оптимальный план производства

Фирма производит три модели электронных реле. Каждая модель требует двухстадийной сборки. Время (в мин.), необходимое для сборки на каждой стадии, приведено в таблице. Оборудование на каждой стадии работает 7.5ч в день. Менеджер хочет максимизировать прибыль за следующие 5 рабочих дней. Модель А дает прибыль 82.5 руб за шт.; модель B - 70.0 руб.; модель С - 78.0 руб. Фирма может продавать все, что она произведет, и, кроме того, имеет на следующую неделю оплаченный заказ на 60 шт., по 20 шт. устройства каждого типа.
а) Каков должен быть оптимальный производственный план?
б) Все ли типы моделей выгодно производить?
в) Если есть убыточная модель, то что надо изменить, чтобы ее производство стало выгодным? Попробуйте изменить что-нибудь в ценовой политике или увеличить время работы оборудования (за счет сверхурочных) так, чтобы все модели стали выгодными. Опишите результаты ваших попыток.
г) Допустим, вы можете установить 2 сверхурочных часа для одной из стадий. Для какой именно стадии следует назначить эти сверхурочные часы, чтобы получить наибольшую прибыль?

ПродуктСтадия 1Стадия 2ПрибыльЗаказ
Модель А2.52.082.520
Модель В1.81.670.020
Модель С2.02.278.020
Ресурс450450

К решению

3.П.2. Оптимизация инвестиционного портфеля

Частный инвестор предполагает вложить 500 тыс.руб. в различные ценные бумаги (см. таблицу). После консультаций со специалистами фондового рынка он отобрал 3 типа акций, 2 типа государственных облигаций. Часть денег предполагается положить на срочный вклад в банк.
Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и неформализуемые личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг:
  • все 500 тыс.руб. должны быть инвестированы;
  • по крайней мере 100 тыс.руб. должны быть на срочном вкладе в любимом банке;
  • по крайней мере 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;
  • В облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции;
  • не более чем 125 тыс.руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее чем 10%.
    • а) Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода?
    б) Если инвестор вносит дополнительные средства в портфель бумаг, сохраняя сформулированные выше ограничения, как изменится ожидаемый годовой доход? Зависит ли изменение ожидаемого годового дохода от величины дополнительно инвестированных средств? Почему?
    в) Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акциям) - это не более чем оценка. Насколько оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода от портфеля выбранных бумаг чувствительна к этим оценкам? Какая именно бумага портфеля наиболее сильно влияет на оценку суммарного ожидаемого дохода?
    г) Дайте интерпретацию значений теневых цен для правых частей каждого из ограничений.

    вложение% доходариск
    акции А15высокий
    акции В12средний
    акции С9низкий
    долгосрочные облигации11-
    краткосрочные облигации8-
    срочный вклад6-

    К решению

    3.П.3. Управленческая наука - фермеру: оптимизация использования земель

    Фермер имеет 150 га земель в одной из южных областей и в предстоящем сезоне собирается выращивать пшеницу, кукурузу, овес и сою. В таблице представлены данные о величине ожидаемого урожая, финансовых и трудовых затратах, расходе минеральных удобрений и предполагаемых ценах на выращенное зерно.
    Основываясь на анализе прошлогоднего рынка зерновых, фермер хочет произвести не менее 150т пшеницы и не менее 150т кукурузы, но не более 125т овса. Он располагает 250 тыс. руб. для покрытия издержек, связанных с обработкой и уходом за полями, и планирует работать по 12 ч в день в течение 150-дневного сезона. Он также не хочет перерасходовать имеющийся у него с прошлого года запас минеральных удобрений в 120т.
    а) Какое количество гектаров земли фермер должен отвести под каждую зерновую культуру, чтобы максимизировать прибыль от предполагаемого урожая?
    б) Все ли культуры стоит выращивать? Если есть культура, которая исключена из оптимального плана, насколько надо увеличить цену за центнер (при условии, что ожидаемая урожайность та же), чтобы ее стало выгодно выращивать?
    в) Если снять ограничение на производство кукурузы, войдет ли она в оптимальный план? Как изменится прибыль, если кукурузу не выращивать?
    г) Близлежащий колхоз предлагает фермеру арендовать прилегающий к его полям участок 20 га за 50 тыс.руб. за сезон. Стоит ли фермеру принять это предложение?

    культуратруд, ч/гаиздержки, руб/гаудобрения, ц/гаурожай, ц/гацена, руб/ц
    пшеница81000421160
    кукуруза1015001230128
    овес660021873
    соя201200824155

    К решению

    3.П.4. Максимизация прибыли универмага

    Большой универсальный магазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для весеннего сезона. Решено заказать 4 типа костюмов. Три типа - это костюмы широкого потребления: (1) костюмы из полиэстровых смесей, (2) шерстяные костюмы и (3) костюмы из хлопка. Четвертый тип - это дорогие импортные модельные костюмы из различных тканей. Имеющийся у менеджеров магазина опыт и специальные исследования позволяют оценить средние затраты рабочего времени продавцов на продажу одного костюма каждого типа, количество средств на рекламу и площадей в расчете на один костюм каждого типа. Все эти данные, а также прибыль от продажи одного костюма каждого типа представлены в таблице.
    Предполагается, что весенний сезон будет длиться 90 дней. Магазин открыт 10 часов в день, 7 дней в неделю. Два продавца постоянно будут в отделе костюмов. Выделенная отделу костюмов площадь составляет прямоугольник 100х60 футов. Бюджет, выделенный на рекламу всех костюмов на весенний сезон, составляет $15000.
    а) Сколько костюмов каждого типа надо закупить, чтобы максимизировать прибыль?
    б) Допустим, что менеджмент магазина считает необходимым закупить не менее 200 костюмов каждого типа. Как это требование повлияет на прибыль магазина?

    При ответе на следующие вопросы сохраните ограничение (б)

    в) Изменится ли оптимальное решение, если прибыль от продажи одного полиэстрового костюма переоценена (недооценена) на $1? На $2?
      г) Обоснуйте, будет ли каждое из предлагаемых решений полезно для магазина:
    1. отдать в распоряжение отдела костюмов 400 кв.футов от отдела женской спортивной одежды. Предполагается, что на этой площади магазин может получить прибыль всего лишь $750 за последующие 90 дней;
    2. истратить дополнительно $400 на рекламу;
    3. нанять дополнительно продавца на 26 полных дней. Это будет стоить магазину $3600 и добавит 260ч труда продавцов отдела костюмов в течение 90 дней предстоящего сезона.
    д) Допустим, добавлено дополнительное условие, ограничивающее общее число закупленных костюмов 5000 шт. Как это повлияет на оптимальное решение?

    тип костюмаприбыль,$время,чреклама,$площадь,кв.фут
    полиестер350.421.00
    шерсть470.541.50
    хлопок300.331.25
    импорт901.093.00

    К решению

    3.П.5. Оптимальная загрузка оборудования ткацкого цеха (продолжение)

    Вернитесь к "2.П.1. Оптимальная загрузка оборудования ткацкого цеха".
    При рассмотрении этого примера можно было требовать, чтобы все станки были загружены, а можно было потребовать лишь, чтобы число загруженных станков каждого типа не превышало числа станков этого типа.
    Интересно, что максимум дохода с продаж при этом получается один и тот же. Разумеется, в условиях рыночной экономики наиболее ценен тот план, который позволяет достичь максимума прибыли с наименьшими затратами.
    В связи с этим возникают следующие вопросы:
    а) Какое максимальное количество станков первого или второго типа можно высвободить, не уменьшая величины полученного максимального дохода?
    б) Если не все станки задействованы, значит, дальнейшему увеличению дохода мешают другие ограничения. Насколько их надо ослабить, чтобы полностью использовать машинный потенциал цеха? Насколько при этом увеличится доход?
    в) Какое из имеющихся ограничений выгоднее ослабить?
    К решению

    3.П.6. Оптимальный план размещения производственных заказов (продолжение)

    Вернитесь к примеру "2.П.2. Оптимальный план размещения производственных заказов".
    а) Дайте интерпретацию полученных теневых цен.
    б) Стоит ли увеличивать инвестиции в проект? Если да, то за какой срок дополнительные инвестиции окупятся? Почему это произойдет? Изменится ли оптимальный план размещения?
    в) Насколько увеличатся издержки, если решено выпускать не 300, а 350 изделий в месяц? Почему это произойдет? Изменится ли оптимальный план размещения?
    К решению

    3.П.7. Минимизация отходов лесопилки (продолжение)

    Вернитесь к примеру "2.П.3. Минимизация отходов лесопилки". Считайте, что число стандартных кусков не менее заказа (но может быть больше, т.е. часть кусков заготовлена впрок). Не вводите целочисленные ограничения!
    а) Дайте интерпретацию теневых цен.
    б) Каков должен быть запас бревен на лесопилке, чтобы обратить отходы в ноль?
    в) Что произойдет, если запас бревен уменьшить ниже величины нижнего предела устойчивости?
    К решению

    4.1. На кондитерской фабрике. Проблема учета постоянных издержек

    После проведенного анализа сын владельца фабрики принес в цех свой первый оптимальный план и показал мастеру. Тот посмотрел план и сказал: "Ну что ж, будем реализовывать. Только учти, что по технологии до (или после) производства конфеты "Белка" надо остановить производственную линию и тщательно ее вычистить, иначе будет брак. Стоит такая очистка 400 у.е."
    Таким образом, понадобилось срочно пересчитать оптимальный план с учетом постоянной издержки.
    К решению

    4.2. Оптимальный план размещения предприятий

    Управляющий новой таксомоторной компании пытается определить оптимальное расположение для стоянок своих такси. В таблице собрана необходимая информация относительно предполагаемых точек стоянки.
    Важной характеристикой положения стоянки является способность ее персонала своевременно обслуживать заказы из тех районов города, которые находятся в зоне ответственности данной стоянки. Машина должна прибывать по заказу в любую точку подопечного района за время, не превышающее некоторое максимальное. Потенциальные места для стоянок позволяют обслужить по 2 или 3 района города. Управляющий должен выбрать некоторые из них так, чтобы каждый район был обслужен хотя бы одной стоянкой, и чтобы стоимость аренды была минимальной.

    стоянкарайоныстоимость аренды
    1А, Е400
    2А, С, Д500
    3В, С, Е450
    4В, Д440
    5Д, Е420

    К решению

    4.П.1. Оптимальная загрузка оборудования ткацкого цеха (окончание)

    Получить целочисленное решение задачи и сравнить его с непрерывным и с округленным непрерывным.
    Целочисленное решение рассматривается в примере 2.П.1.
    К решению

    4.П.2. Минимизация отходов лесопилки (окончание)

    Вернитесь к примерам 2.П.3 и 3.П.7 минимизации отходов лесопилки. Введите целочисленные ограничения. Насколько отличается оптимальное решение с целочисленным ограничением на переменные от полученных ранее? Стоит ли вводить целочисленное ограничение в этой задаче?
    Измените ограничения этой задачи так, чтобы число стандартных кусков было точно равно заказу. Введите целочисленные ограничения. Существует ли решение? Почему? Что надо изменить в условиях задачи, чтобы решение существовало? Существенно ли целочисленное ограничение в этом случае?
    К решению

    4.П.3. Еще раз о плане кондитерской фабрики (окончание)

    Будем считать, что постоянные издержки существуют при запуске линии на производство любых конфет, и что для любых конфет они равны 100 у.е.
    а) Решите задачу при этих условиях. Сколько видов конфет выгодно выпускать? Насколько уменьшилась прибыль по сравнению с исходной задачей (2.2)?
    Допустим, что по маркетинговым соображениям вы не можете допустить столь бедного ассортимента и хотите потребовать, чтобы в оптимальный план вошло не менее 3 видов, 4 видов или все 5 видов продукции.
    б) Введите в решение соответствующее ограничение и найдите оптимальный план. Как изменяется прибыль при расширении ассортимента продукции? Почему?
    К решению

    4.П.4. Выбор оптимальных проектов для финансирования

    Управляющему банка были представлены предложения о 4 проектах, претендующих на кредиты банка. Проект А должен принести компании прибыль 21 тыс. долл., проект Б - 18 тыс. долл., проект В - 16 тыс. долл., проект Г - 17.5 тыс. долл. При взвешивании этих предложений следует принять во внимание потребность проектов в наличности и массу доступной наличности для соответствующих периодов.
    Доступная наличность банка и потребности проектов приведены в таблице (тыс. долл.)
    Какие проекты следует финансировать и какое количество наличности необходимо в течение каждого периода, если цель состоит в том, чтобы максимизировать прибыль?

    проектпериод 1период 2период 3период 4
    А881010
    Б79911
    В57911
    Г9876
    ресурс банка22253830

    К решению

    4.П.5. Оптимальный план развития программных продуктов

    Компания "Корвет" производит программное обеспечение на CD-ROM, которое продается в пакете с драйверами CD-ROM основными производителями компьютерного оборудования. Компания оценивает возможность развития 6 новых программных приложений. В таблице представлена информация о затратах и ожидаемой чистой приведенной прибыли от продажи приложений (с учетом временной стоимости денег, в тыс. долл.).
    У "Корвета" 60 программистов. Фирма может выделить 3.5 млн. долл. на развитие новых программных приложений.
      Каков оптимальный набор приложений, которые следует развивать, если:
    1. Ожидается, что клиенты, заинтересованные в приложении 4, будут заинтересованы также в приложении 5 и наоборот. Т.о., эти приложения должны вместе развиваться или не развиваться.
    2. Развитие приложения 1 имеет смысл только при наличии приложения 2. Т.о., если развивается приложение 1, должно развиваться и приложение 2, но приложение 2 может развиваться и без приложения 1.
    3. Приложения 3 и 6 эксплуатируют одну и ту же тему. Следовательно, если одно из них развивается, то другое - нет.
    4. Стремясь обеспечить качество продукции, "Корвет" не склонен развивать более 3 программных продуктов.
    Проанализируйте влияние каждого из 4 последних ограничений на оптимальное решение.
    приложениезатраты на развитиечисло программистовчистая прибыль
    140062000
    21100183600
    3940204000
    4760163000
    51260284400
    61800346200
    К решению

    5.П.1. Распределение аудиторов по фирмам

    Менеджер-координатор аудиторской фирмы должен распределить аудиторов для работы на следующий месяц. Есть заявки от 10 клиентов на 75 аудиторов. В 4 конторах фирмы 90 аудиторов, 15 аудиторов можно отправить на плановую учебу. Аудиторы различаются по квалификации и опыту работы. Прежде чем приступить к аудиту конкретной фирмы, они должны затратить определенное время на подготовку и консультации. Менеджер-координатор, учитывая опыт работы аудиторов каждой конторы, оценил время, необходимое в среднем аудитору каждой конторы для подготовки к аудиту конкретного клиента. Результаты - в таблице. Знаки вопроса в клетках таблицы означают, что аудиторы данной конторы не имеют опыта аудита в отрасли, к которой относится данный клиент, и их не должны к нему посылать. Распределить аудиторов так, чтобы суммарные временные затраты на подготовку были минимальны.
    конторы\клиентыК1К2К3К4К5К6К7К8К9К10ресурсы
    ГААПвилл821151391718726935
    Финанстаун14181719126015241320
    ИСАбург915181616151113211925
    Нью-Баланс11?147239618?710
    Заявки492127693185
    В реальной практике обычно требуют, чтобы аудиторы не все были из одной конторы. Попробуйте выполнить это условие и не слишком ухудшить решение.
    К решению

    5.П.2. Простая транспортная задача

    Минимизируйте суммарные транспортные издержки для задачи, приведенной в таблице. Знак вопроса означает, что клиент недоступен для источника.
    источники\клиентыК1К2К3К4К5К6К7К8К9К10ресурсы
    И114651217141411?1217
    И2131031514981641723
    И3151311?9267141710
    И4121741214611791824
    И51812114817?11895
    заказ611113121283211
    К решению

    5.П.3. Несбалансированная трпнспортная задача

    Менеджер транспортного отдела составляет план перевозок продукции фирмы в стандартных контейнерах на следующий месяц. Цены перевозок одного контейнера, величины заказов и запасы на складах даны в таблицах.

    а) 9 заказов от потребителей К1,...,К9 в сумме превышают запас на складах С1,...,С7. Найдите план перевозок, минимизирующий транспортные издержки.
    склады\клиентыК1К2К3К4К5К6К7К8К9ресурсы
    С114710731272147
    С210416151691061210
    С31011967111581112
    С4912385171617138
    С531281751316832
    С61391151771717165
    С736101814128976
    заказ5115936948

    б) 10 заказов от потребителей К1,...,К10 в сумме меньше запаса на складах С1,...,С4. Найдите план перевозок, минимизирующий транспортные издержки.
    склады\клиентыК1К2К3К4К5К6К7К8К9К10ресурсы
    С13177179149148144
    С23668171216551311
    С39561681011881817
    С41216616143514111720
    заказ2254544123
    К решению

    5.П.4. Несбалансированная задача о назначениях

    Мастер должен назначить на 10 типовых операций (Д1,...,Д10) 12 рабочих (Р1,...,Р12). Время, которое тратит каждый рабочий на выполнение каждой операции приведено в таблице. Знак вопроса означает, что этот рабочий не может выполнять эту операцию. Определите расстановку рабочих по операциям, при которой суммарное время на выполнение работ будет минимально.
    рабочие\операцииД1Д2Д3Д4Д5Д6Д7Д8Д9Д10
    Р129311616173420281613
    Р229252230243137231627
    Р32732?14343027161917
    Р42135?32312830293116
    Р52136?14243021282927
    Р6283525302216?182518
    Р727343326141918371916
    Р827342730373726223533
    Р916261826162031342829
    Р1016223322211919373624
    Р1126351314173617172521
    Р1234251914363617362633
    К решению

    6.2. Модель экономичного размера заказа

    Какой должен быть размер заказа (и как часто его надо делать) для данного вида товара, чтобы минимизировать издержки его хранения. Предполагается, что известны спрос, издержки хранения единицы запаса, издержки на заказ (или переналадку оборудования). Предполагается, что отсутствие товара не допускается.
    К решению

    6.3. Модель производства оптимальной партии продукции

    Какой должен быть размер производимой партии продукции, чтобы минимизировать издержки его хранения? Выпускаемые детали тут же потребляются, но потребление идет медленнее, чем производство. Предполагается, что известны заказ, издержки хранения единицы запаса, издержки на переналадку оборудования, скорость потребления деталей и скорость производства. Предполагается, что отсутствие деталей не допускается.
    К решению

    6.4. Модель планирования дефицита

    Какой должен быть размер заказа (и как часто его надо делать) для данного вида товара, чтобы минимизировать издержки, связанные с его хранением или отсутствием. Предполагается, что известны спрос, издержки хранения единицы запаса, издержки на заказ (или переналадку оборудования), убытки, связанные с отсутствием товара. Отсутствие товара планируется, принимаются заказы на отсутствующий товар.
    К решению

    6.7. Планирование производства детали на универсальной линии "с горизонтом" 8 недель

    Менеджер производственного отдела получил заказ на поставку изделия с артикулом П-213 на ближайшие 8 недель вперед. Требования заданы в таблице. Для изготовления 100 штук изделия требуется 1 день. Т.о., можно весь необходимый запас произвести за один запуск на текущей (нулевой) неделе. Менеджеру необходимо минимизировать издержки на производство и хранение, в предположении, что склад должен быть пустым в конце 8-й недели. Заказ должен быть готов в начале недели. Стоимость единицы продукции = 10, затраты на запуск линии = 47, издержки на хранение запаса в неделю = 0.5% стоимости. Сколько и когда производить изделия, чтобы издержки были минимальны?
    неделя12345678
    заказ5060706095756055
    К решению