3.П.2. Оптимизация инвестиционного портфеля
Постановка задачи
Частный инвестор предполагает вложить 500 тыс.руб. в различные ценные бумаги (см.
таблицу). После консультаций со специалистами фондового рынка он отобрал 3 типа
акций, 2 типа государственных облигаций. Часть денег предполагается положить на
срочный вклад в банк.
Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и неформализуемые
личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг:
все 500 тыс.руб. должны быть инвестированы;
по крайней мере 100 тыс.руб. должны быть на срочном вкладе в любимом банке;
по крайней мере 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в
акции с низким риском;
В облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции;
не более чем 125 тыс.руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее чем 10%.
а) Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и
максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода?
б) Если инвестор вносит дополнительные средства в портфель бумаг, сохраняя
сформулированные выше ограничения, как изменится ожидаемый годовой доход? Зависит ли
изменение ожидаемого годового дохода от величины дополнительно инвестированных
средств? Почему?
в) Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акциям) - это не
более чем оценка. Насколько оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода от
портфеля выбранных бумаг чувствительна к этим оценкам? Какая именно бумага портфеля
наиболее сильно влияет на оценку суммарного ожидаемого дохода?
г) Дайте интерпретацию значений теневых цен для правых частей каждого из
ограничений.
вложение | % дохода | риск |
акции А | 15 | высокий |
акции В | 12 | средний |
акции С | 9 | низкий |
долгосрочные облигации | 11 | - |
краткосрочные облигации | 8 | - |
срочный вклад | 6 | - |
Решение задачи
Обозначим: акции А - акц.А; акции В - акц.В; акции С - акц.С; долгосрочные
облигации - обл.д; краткосрочные облигации - обл.к; срочный вклад - вклад.
Параметры задачи приведены в постановке задачи.
Ограничения:
- общий объем инвестиций = 500
- вклад >= 100
- акц.С >= 0.25*(акц.А + акц.В + акц.С) т.е.
4*акц.С >= (акц.А + акц.В + акц.С);
3*акц.С >= акц.А + акц.В.
- (обл.д + обл.к) >= (акц.А + акц.В + акц.С)
- акц.С + обл.к + вклад <= 125
а)
Для решения задачи можно использовать следующую модель.
Инвестиции из объекта типа "Приобретение" с именем "Инвестиции" поступают в объект типа
"Производство" с именем "Портфель", где начисляется доход. Начисленный доход и инвестиции поступают из
Портфеля в объект типа "Сбыт" с именем "Доход". Для задания ограничений используется пара из объекта
типа "Хранение" с именем "Ограничения", из которого идет связь в объект типа "Производство" с именем
"Счет". В Ограничения идет связь из Портфеля.
Вставим в модель объекты Инвестиции, Портфель, Доход, Ограничения, Счет. Проведем свяязи-потоки из
Инвестиций в Портфель, из Портфеля в Доход и в Ограничения, из Ограничений в Счет.
В Инвестиции, в таблицу закупок, введем материал инвестиции с ценой 1000, Max кол-во возьмем из
параметров задачи (ограничение-1).
В Портфель, в таблицу процессов введем по процессу для каждого вида инвестиций (по таблице
параметров). Для вклада зададим ограничение-2: Min=100. Во входящих материалах для каждого из процесса
укажем инвестиции (потребление = 1). В исходящих материалах для каждого процесса укажем инвестиции
(выход = 1) и доход (выход берется из таблицы параметров).
В Доход, в таблицу продаж введем инвестиции (цена =1000) и доход (цена =10, т.е 1% от 1000).
Ограничение-3 обеспечивается следующим образом. В Портфель, в исходящие материалы добавим для
процессов акц.А, акц.В продукт-флаг риск (выход = 1) и для процесса акц.С продукт-флаг рискн (выход = 3).
В Ограничения, в хранимые материалы, введем материалы риск и рискн, укажем для риск Max запас = 0. Это
значит, что флаг-риск должен быть использован полностью. В Счет, в таблицу процессов, введем процесс
риск, предназначенный для сравнения флагов риск и рискн. Сравнение проводится путем взаимного погашения
флагов. Во входящих материалах для процесса риск введем материалы риск и рискн (потребление = 1). Теперь
при решении модели будет выработано флага риск = акц.А + акц.В, рискн = 3 * акц.С. Эти флаги попадут в
Ограничения. Т.к. для риск Max запас = 0, риск будет вместе с рискн гаситься в Счете процессом риск,
пока это возможно и необходимо, т.е. пока не кончится риск или рискн. Когда риск будет погашен,
ограничение будет выполнено: риск <= рискн, т.е. акц.А + акц.В <= 3*акц.C.
Ограничение-4 обеспечивается следующим образом. В Портфель, в исходящие материалы добавим для
процессов акц.А, акц.В, акц.C продукт-флаг акц, для процессов обл.Д, обл.К продукт-флаг обл (у всех
выход = 1). В Ограничения, в хранимые материалы, введем материалы обл и акц, для акц укажем Max запас =
0. В Счет, в таблицу процессов, введем процесс облакц, подобный процессу риск, предназначенный для
сравнения флагов обл и акц. Во входящих материалах для облакц введем материалы обл и акц (потребление =
1). При решении модели обл = обл.Д + обл.К, акц = акц.А + акц.В + акц.С, акц должен быть выработан
полностью, т.е. акц.А + акц.В + акц.С <= обл.Д + обл.К.
Ограничение-4 обеспечивается следующим образом. В Портфель, в исходящие материалы добавим для акц.С,
обл.К, вклад продукт-флаг низ (выход = 1). В Ограничения, в хранимые материалы, введем материал низ и
укажем Max запас = 125.
Таким образом, все параметры задачи введены. Решим модель. Доход = 52500.00 при акц.А = 75,
акц.В = 0, акц.С = 25, обл.Д = 300, обл.К = 0, вклад = 100.
б)
Из отчета "Анализ граничных условий" видно следующее:
- от дополнительных инвестиций следует ожидать 11% дохода (инвестиции=110);
- наиболее выгодно инвестировать в соответствии с ограничениями на низкодоходные
бумаги (низ = 100), в акц.А и акц.В (риск=40);
- невыгодны инвестиции во вклад (вклад=-150), в акц.С (рискн=-40), в обл.К (-16.25),
в акц.В (акц.В=-2.5).
Таким образом, в рамках имеющихся условиях можно отказаться от дальнейшего
инвестирования во вклад, акц.В и в обл.К. Дальнейшие инвестиции делать только в
акц.А, акц.С, обл.Д. Но дальнейшее инвестирование в акции невозможно из-за
ограничения на низкодоходные акции. Текущий доход (11%) можно сохранить, инвестируя
дополнительные средства в обл.Д. Доход не будет меняться, т.к. доходность обл.Д=11%.
в)
Изменение дохода по вкладу не расматриваем.
Решение изменится, если акц.А станет менее доходна, чем акц.В; если обл.Д станет
менее доходна, чем обл.К; если обл.Д станет более доходна, чем (3*акц.А+акс.С)/4
(при заданных условиях - обл.Д вырастет более, чем на 2.5%, или акц.А и акц.С
одновременно упадут более, чем на 2.5%)
Наиболее сильно влияет на результирующий доход обл.Д, потом вклад, потом акц.А, потом акц.С
г)
Чувствительность (теневые цены) показывает, насколько сильно влияет то или иное
ограничение. Отчет показывает, что наиболее существенным ограничением является
ограничение на вклад (вклад=-150). Если уменьшить вклад на единицу, прибыль вырастет
на 150. Если увеличить на 1 ограничение на низкодоходные акции (низ=100), доход увеличится на 100.