3.П.4. Максимизация прибыли универмага
Постановка задачи
Большой универсальный магазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для
весеннего сезона. Решено заказать 4 типа костюмов. Три типа - это костюмы широкого
потребления: (1) костюмы из полиэстровых смесей, (2) шерстяные костюмы и (3) костюмы из
хлопка. Четвертый тип - это дорогие импортные модельные костюмы из различных тканей.
Имеющийся у менеджеров магазина опыт и специальные исследования позволяют оценить
средние затраты рабочего времени продавцов на продажу одного костюма каждого типа,
количество средств на рекламу и площадей в расчете на один костюм каждого типа. Все эти
данные, а также прибыль от продажи одного костюма каждого типа представлены в таблице.
Предполагается, что весенний сезон будет длиться 90 дней. Магазин открыт 10 часов в
день, 7 дней в неделю. Два продавца постоянно будут в отделе костюмов. Выделенная отделу
костюмов площадь составляет прямоугольник 100х60 футов. Бюджет, выделенный на рекламу
всех костюмов на весенний сезон, составляет $15000.
а) Сколько костюмов каждого типа надо закупить, чтобы максимизировать прибыль?
б) Допустим, что менеджмент магазина считает необходимым закупить не менее 200
костюмов каждого типа. Как это требование повлияет на прибыль магазина?
При ответе на следующие вопросы сохраните ограничение (б)
в) Изменится ли оптимальное решение, если прибыль от продажи одного полиэстрового
костюма переоценена (недооценена) на $1? На $2?
г) Обоснуйте, будет ли каждое из предлагаемых решений полезно для магазина:
- отдать в распоряжение отдела костюмов 400 кв.футов от отдела женской спортивной
одежды. Предполагается, что на этой площади магазин может получить прибыль всего лишь
$750 за последующие 90 дней;
- истратить дополнительно $400 на рекламу;
- нанять дополнительно продавца на 26 полных дней. Это будет стоить магазину $3600 и
добавит 260ч труда продавцов отдела костюмов в течение 90 дней предстоящего сезона.
д) Допустим, добавлено дополнительное условие, ограничивающее общее число закупленных
костюмов 5000 шт. Как это повлияет на оптимальное решение?
| тип костюма | прибыль,$ | время,ч | реклама,$ | площадь,кв.фут |
| полиестер | 35 | 0.4 | 2 | 1.00 |
| шерсть | 47 | 0.5 | 4 | 1.50 |
| хлопок | 30 | 0.3 | 3 | 1.25 |
| импорт | 90 | 1.0 | 9 | 3.00 |
Решение задачи
Параметры задачи приведены в постановке задачи.
Ограничения:
- время = 2х10х90 = 1800
- реклама = 15000
- площадь = 100х60 = 6000
а) Для решения задачи можно использовать следующую модель.
Все ресурсы из объекта типа "Приобретение" с именем "Ресурсы" поступают в объект типа "Производство"
с именем "Продажи". В Продажах костюмы продаются с затратами ресурсов. Факт продажи костюмов передается
в объект типа Сбыт, где учитывается прибыль от продажи.
Вставим в модель объекты Ресурсы, Продажи, Сбыт. Проведем связи-потоки из Ресурсов в
Продажи, из Продаж в Сбыт.
В Ресурсы, в таблицу закупок, введем виды ресурсов: время, рекламу и площадь, в Мах кол-во которых
зададим ограничения задачи.
В Продажи, в таблицу процессов, добавим по процессу на продажу каждого типа костюмов: полиестер,
шерсть, хлопок, импорт. Во входящих материалах для каждого процесса добавим те же материалы, что в
Ресурсах: время, рекламу и площадь (потребление берется из таблицы параметров). В исходящих материалах
введем для каждого из процессов по одному виду продукта, название которого совпадает с названием процесса.
В Сбыт, в таблицу продаж, введем 4 записи, с теми же названиями, что продукты в Продажах. Цену для
продуктов возьмем из таблицы параметров.
Таким образом, все параметры задачи введены. Решим модель. Получим прибыль= 171500.00
при полиестер = 500, шерсть = 2000, хлопок = 2000, импорт = 0.
б) Во втором условии неявно подразумевается, что закупленные костюмы, в частности
импорт, таки будут проданы. Если исходить из этого, то для для выяснения, как повлияет
закупка по 200 костюмов каждого вида, добавим в Сбыт в таблицу продаж для каждого
продукта Min кол-во = 200. Решим модель. Прибыль = 170333.3333. Если добавить требование
целочисленного решения (в Продажах в таблице процессов для каждого процесса указать
ед./блок = 1, Мах(ед) = 3000), получим прибыль = 170330.00 при полиестер = 733, шерсть = 1335, хлопок =
2131, импорт = 200. Целочисленное решение приведено в модели MO3P4B.
Непрерывное решение с ограничением в 200 костюмов каждого вида приведено в модели
MO3P4С, которая и используется при ответе на остальные вопросы.
в)
Сравнение решений приведено в таблице
| продукт | решение изменилось |
| полиестр=33 | да |
| полиестр=34 | да |
| полиестр=35 | - |
| полиестр=36 | нет |
| полиестр=37 | да |
| шерсть=45 | да |
| шерсть=46 | нет |
| шерсть=47 | - |
| шерсть=48 | да |
| шерсть=49 | да |
| хлопок=28 | да |
| хлопок=29 | да |
| хлопок=30 | - |
| хлопок=31 | нет |
| хлопок=32 | нет |
| импорт=88 | нет |
| импорт=89 | нет |
| импорт=90 | нет |
| импорт=91 | нет |
| импорт=92 | нет |
г) Этот пункт разбирается в модели МО3Р4G. Для решения добавим объект типа
"Приобретение" с именем "Проверка". Проведем связь из Проверки в Продажи. В Проверку
в таблицу закупок будет добавляться для каждого предлагаемого решения соответствующий
решению материал, за счет чего и будет проверяться предложение.
- Цена предлагаемой площади = 750/400 = 1.875 < 2. Тут 2 - чувствительность площади.
Поэтому, определенные дополнительные затраты на площадь должны увеличить прибыль.
Добавим в Проверку материал "площадь" с ценой 1. Решим модель. Прибыль увеличилась.
Дополнительной площади использовано 283.3333. Это меньше 400. Т.е. 400 площади
добавлять невыгодно. Поставим для площади Min кол-во = 400, решим модель. Получим
прибыль выше, чем без дополнительной площади, но ниже, чем при дополнительной площади
283.3333.
- Чувствительность рекламы = 1.8333, больше 1 (стоимость рекламы), поэтому
определенные дополнительные затраты на рекламу должны увеличить прибыль. Добавим
в Проверку материал "реклама" с ценой 1. Решим модель. Прибыль увеличилась.
Дополнительной рекламы использовано 457.1429, т.е. до такого количества выгодно
вкладываться в дополнительную рекламу. Это больше 400.
- Чувствительность времени = 73.4375. Цена дополнительного времени = 3600/260 =
13.8462, ниже, поэтому определенные дополнительные затраты на время должны увеличить
прибыль. Добавим в Проверку материал "время" с ценой 13.8462. Решим модель. Прибыль
увеличилась. Использовано дополнительного времени = 500, больше 260.
д)
Оптимальное решение показывает общее число проданных костюмов = 4400, что меньше
5000. Поэтому дополнительное ограничение общего числа закупленных костюмов <= 5000 не
повлияет на решение и на прибыль. Условие и так выполняется. Чтобы рассмотреть
несколько разных ограничений на общее количество (модель MO3P4D), добавим объект
типа "Ресурсы". В таблицу ресурсов добавим ресурс "костюмы" с Max кол-во = 5000.
Проведем связь из Ресурсов в Сбыт. В Сбыте в таблице потребления ресурсов добавим 4
записи, и для каждого из продуктов-материалов укажем потребления ресурса костюмы
(потребление = 1). Решим модель. Ничего не изменится. Если потребовать продать 5000
костюмов, т.е. в Ресурсах в таблице ресурсов для костюмов задать Min кол-во=5000,
задача станет неразрешимой.